Sommario del contributo precedente

Nel contributo del 13 marzo avevo condiviso alcune considerazioni relative sia all’evoluzione della curva dei decessi in Italia che al confronto dell’andamento dei contagi italiani con quello di paesi che ci avevano preceduto (Cina e Corea) e che ci seguivano (Germania, Spagna, Francia e Stati Uniti) nei tempi di diffusione dell’epidemia. 

Avevo osservato che, nella fase iniziale dell’epidemia, i contagi registrati erano cresciuti in tutti i paesi seguendo un esponenziale molto rapido. Questa curva, rappresentata in colore rosso nei grafici, aveva un tempo di raddoppio rapidissimo, cioè prossimo a due giorni per tutti i paesi occidentali e più rapido ancora per i paesi asiatici. I paesi in fase più avanzata dell’epidemia, Cina, Corea, Italia, Germania e forse Francia, erano passati ad una seconda fase esponenziale (curva viola) con tempo di raddoppio prossimo ai tre giorni.  Cina e Corea erano infine passate ad una terza fase, curva azzurra, con andamento prima lineare e poi sublineare. Si era osservato che questi diversi andamenti difficilmente potevano essere interpretati come parti di un singolo andamento funzionale, predeterminato dai parametri iniziali del problema, ma riflettevano la risposta della popolazione colpita, e dei governi, in corso di contagio. Lo studio di tali andamenti permetteva perciò di valutare l’efficacia e soprattutto la tempestività delle contromisure prese sia a livello individuale che di decreti governativi.

Avevo riportato alcune caute previsioni:

In ordine alla curva dei decessi, preso atto che inevitabilmente il conteggio finale era destinato a superare quello cinese, si era suggerito che essa, allineata finora all’esponenziale “rosso”, avrebbe presto rallentato. Era destinata, cioè, a seguire la curva dei contagi nel suo passaggio alla curva viola, con un ritardo pari al tempo medio che intercorre tra la diagnosi di contagio e l’eventuale morte del paziente. Si era dunque individuata una “forchetta” delle possibili evoluzioni: la più pessimista era il permanere sulla curva rossa, con esiti disastrosi, mentre la più ottimista era l’immediato passaggio alla curva viola. Prediligendo l’ottimismo, si era provato a interpretare cautamente il singolo punto del 12 marzo come un segnale della transizione in corso.

In ordine ai confronti tra diversi paesi, si era da una parte individuato il passaggio alla cosiddetta curva azzurra, prima lineare e poi sublineare, avvenuto in Cina e Corea, come il prossimo segnale dell’ingresso alla fase matura dell’epidemia. Dall’altra, si era osservato che, adottando una scala temporale convenzionale, in cui all’asse dei tempi di ogni paese si applicava una opportuna traslazione per tener conto dei diversi stadi dell’epidemia, gli andamenti dei paesi occidentali mostravano sorprendenti somiglianze. I dati mettevano infatti in evidenza che tutti i paesi occidentali analizzati, e non solo l’Italia, avevano mostrato un tempo di reazione nettamente superiore ai paesi asiatici. Questa differenza comporterà gravi conseguenze in termini di contagi e, conseguentemente, in termini di vite umane.

Il contributo di oggi è dedicato ad un aggiornamento importante, e per fortuna positivo, relativo alla situazione italiana. Le novità paiono infatti così rilevanti da meritare un articolo dedicato. Esse confermano le più ottimistiche previsioni riportate molto cautamente alcuni giorni fa sulla base di minime indicazioni che il quel momento potevano sembrare statisticamente irrilevanti.

Curva dei contagi confermati

Cifre alla mano, è oggi lecito ipotizzare che la crescita dei contagi in Italia sia definitivamente uscita dalla fase di crescita esponenziale. E’ utile osservare entrambe le scale di Fig. 1, log-lin e lineare, per meglio apprezzarne il contenuto informativo. Dopo aver seguito fino al 1 marzo la curva esponenziale rossa (fase 1 dell’epidemia) con tempo di raddoppio di 2,1 giorni, e poi fino a circa il 12 marzo la curva esponenziale viola (fase 2), con tempo di raddoppio di 3,4 giorni, la curva dei contagi registrati è passata recentemente su una curva azzurra. Si tratta di una retta, come ben messo in evidenza in Fig. 1b. Siamo cioè, con ormai alta probabilità, giunti al lungamente atteso punto di flesso. L’estrapolazione della curva viola in Fig. 1b mette in evidenza come in pochi giorni il cambio di andamento abbia risparmiato oltre 15.000 contagi.

Per meglio capire l’importanza del dato in chiave futura, analizziamo il confronto con la curva coreana.

Come osservato nel contributo del 13 marzo, la Corea aveva anch’essa attraversato le sue fasi rossa e viola (caratterizzate tuttavia da costanti di tempo più rapide di quelle che mostrano tutti i paesi occidentali, Italia compresa). La terza fase era partita mostrando un andamento lineare, punto di flesso della curva complessiva, ed era gradualmente diventata sublineare. Come dato potenzialmente significativo per prevedere il futuro andamento nazionale possiamo osservare che il numero di contagi totali in Corea oggi, vicino alla fine dell’epidemia, è sostanzialmente il doppio di quelli contati al momento della transizione tra le curve viola e blu.

Curva dei decessi

L’analisi aggiornata della curva dei decessi permette ormai un’analisi molto significativa. Facciamo riferimento come punto di partenza alla curva in figura 3 del contributo del 13 marzo. Si era ipotizzato che la curva poteva essere in procinto - e che forse se ne vedevano le avvisaglie - di abbandonare l’esponenziale rosso per passare sulla curva viola, seguendo l’analoga transizione vista nella curva dei contagi e dei positivi. Nella figura 3 di questo contributo i nuovi punti sono stati aggiunti alla vecchia previsione, che si è rivelata corretta. 

Questo cambiamento di rotta, per quanto passato finora inosservato, è stato di importanza cruciale. Il permanere sulla curva rossa avrebbe portato a un conteggio dei morti a oggi superiore di oltre un fattore 2 al numero effettivamente registrato.

Il cambio di andamento esponenziale mette inoltre nelle nostre mani uno strumento di analisi, e potenzialmente di previsione, molto significativo. E’ infatti prevedibile, e noto da studi precedenti [1], che la curva dei decessi riproduca la curva dei pazienti positivi con un fattore di scala k (la mortalità della categoria) ed un ritardo T (il tempo medio tra la diagnosi di contagio e l’eventuale decesso). Che valga, cioè, tra il numero dei decessi n_D ed il numero di pazienti positivi n_P la relazione:

 n_D(t)=k*n_P(t+T)

Su questa base, date due curve generiche, si possono dunque cercare i parametri k e T che le portano a sovrapposizione. Se tuttavia n_P(t) e n_C(t) sono esponenziali semplici con la stessa costante di tempo, il problema non può essere risolto: esistono infatti infinite coppie di valori k e T che portano due esponenziali con la stessa costante di tempo a sovrapporsi l’uno sull’altro. Grazie al cambio di pendenza possiamo invece provare a svolgere l’esercizio. Il risultato è riportato in figura 4, dove le curve dei contagiati e dei positivi (chiamate Contagiati* e Positivi*) sono state portate in avanti nel tempo di T =7 giorni e moltiplicate per un fattore k = 0,27. Per meglio chiarire gli andamenti mostriamo in figura anche le due solite curve esponenziali, rossa e viola (con tempi di raddoppio qui rispettivamente 2,2 e 3,3 giorni) che caratterizzano tutta la nostra analisi.

In questa fase iniziale dell’epidemia il numero dei positivi è molto prossimo a quello che contagiati (linea tratteggiata), e segue perciò lo stesso andamento. La curva dei positivi è destinata tuttavia ad allontanarsi dalla curva dei contagiati con l’avanzare del tempo: la prima tornerà a zero a fine epidemia (ammesso che il virus non resterà endemico), mentre la seconda convergerà ad un valore massimo. 

Il livello di sovrapposizione tra la curva dei decessi e quella - opportunamente riscalata - dei positivi è molto buono, a discapito del forte “rumore” intrinseco di quest’ultima. L’andamento giornaliero di questo numero è infatti molto irregolare e determinato da certificazioni di guarigione la cui data può dipendere da tanti fattori indipendenti dalla salute del paziente. 

Il buon accordo delle curve in figura 4 sembra dare sostegno alla validità dell’analisi effettuata, che potrà essere validata o smentita dall’andamento dei giorni successivi. La stessa metodologia di analisi è stata adottata per lo studio dell’epidemia di Wuhan [1],  portando a risultati confrontabili.

Conclusioni e commenti

L’analisi della curva dei contagi registrati, stante ai dati del 17 marzo, ci induce a sperare di aver raggiunto il punto di flesso. Si tratterebbe di un risultato importante, probabilmente conseguenza diretta dei più recenti provvedimenti governativi tra quelli emessi quest’anno [2]. L’evoluzione delle precedenti epidemie cinese e coreana, da questo punto in poi, può esser cautamente utilizzata a scopo previsionale.

L’analisi comparata della curva dei decessi e di quelle dei positivi e contagiati può essere utilizzata per dedurre dei parametri statistici, ovvero il a) tempo medio tra diagnosi ed eventuale decesso e b) la mortalità dei pazienti confermati positivi. Essa ha un potenziale valore previsionale perché che la curva dei decessi continuerà a seguire con una settimana di ritardo la curva dei positivi, secondo il grafico di figura 4. Entrerà cioè anch’essa in una fase lineare seguita da un rallentamento dei decessi giornalieri.

E’ importante ricordare che il campione di pazienti analizzato non è assolutamente rappresentativo del campione complessivo di pazienti infettati dal virus. Questo campione include infatti praticamente tutti i pazienti ospedalizzati, che ne rappresentano circa i 2/3, ed una piccola frazione dei pazienti asintomatici o con sintomi lievi, per i quali la mortalità è pressocchè nulla, che sfuggono invece alla rivelazione. Il valore della costante k misura la mortalità all’interno di un campione fortemente sbilanciato e non può perciò rappresentare una stima della letalità del Covid-19.

Bibliografia
[1] 2019-nCoV: preliminary estimates of the confirmed-case-fatality-ratio and infection-fatality-ratio, and initial pandemic risk assessment. Accessed March 18, 2020.
[2] Chronology of main steps and legal acts taken by the Italian Government for the containment of the COVID-19 epidemiological emergency. Accessed March 15, 2020.

 

Fabio Miletto Granozio
Istituto SPIN del Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR SPIN), Napoli