Perché - e quando - sono rotonde?

Spruzzi d'acqua e bolle di sapone, gocce di pioggia o di rugiada, la condensa sulla superficie fredda di un vetro, sulla quale scrivere con la punta di un dito. Giochi che abbiamo cominciato ad amare da bambini e che, da allora, non hanno ancora perso il loro fascino. Giochi di cui siamo 'debitori' alle cosiddette 'forze di capillarità'. L'esplorazione del mondo delle forze di capillarità è una sorgente inesauribile di magnifiche sorprese e di stupore (matematico e non).

Se le loro dimensioni sono sufficientemente piccole, le gocce d'acqua o le bolle di sapone forniscono un esempio naturalissimo di una sfera pressoché perfetta. E la matematica ci aiuta a capire quanto piccole debbano essere le gocce per raggiungere questa condizione 'ideale'.

Con una formula che può spaventare, ma che in realtà è molto semplice:

Lunghezza di capillarità k = radice quadrata di (γ/σ)

dove γ è il peso per unità di volume e σ la 'tensione superficiale'. Nel caso dell'acqua, scopriamo che le gocce che hanno un diametro di meno di 2 millimetri sono sfere praticamente perfette.

La forma sferica è una manifestazione empiricamente osservabile della disuguaglianza isoperimetrica, una formula matematica da cui si capisce che, dato un certo volume nello spazio che si voglia racchiudere entro una superficie, la sfera è la forma che offrirà la superficie minima (rispetto a, per esempio, un cubo o anche una piramide)

Si dice in questi casi che la sfera minimizza l'area. E, meraviglia della natura, la superficie sferica è quella che richiede la più piccola energia di capillarità - che è proporzionale ad essa con costante di proporzionalità data dalla tensione superficiale σ - cioè, in un certo senso, la 'fatica' che fa la goccia a tenersi insieme e racchiudere un volume assegnato.

Quando le dimensioni della goccia cominciano a oltrepassare quel valore di k (che nel caso dell'acqua è 2 mm), la forze di gravità comincia a farsi sentire, e la forma di equilibrio sferico della goccia viene così deformata.

Una goccia piuttosto dinamica

Posandosi su una superficie solida, una goccia d'acqua di 1 mm di diametro ci si 'attacca', perde la sua silhouette rotonda e assume la forma di una calotta sferica. E l'aggancio, in molti casi, può essere veramente tenace. Le gocce di pioggia, per esempio, riescono infatti a rimanere in equilibrio su una superficie di vetro, anche se questa è verticale. Come nel caso del vetro di una finestra.
Tuttavia, trattando opportunamente la superficie, magari rendendola più rugosa (con asperità alte qualche micrometro) e idrofoba (per esempio ricoprendola con una pellicola di teflon), la goccia però 'cederà', si solleverà e rimarrà quasi sospesa, come un fachiro disteso su un letto di chiodi.

In queste condizioni la goccia tornerà ad essere una sfera quasi perfetta. E, di più, come una biglia di vetro comincerà a rotolare non appena la superficie di appoggio verrà inclinata anche di pochissimi gradi. La ragione è intuitivamente semplice: quando la superficie di contatto tra goccia e solido si riduce alle sole cime delle asperità, allora le forze di adesione che mantengono la goccia attaccata diventano molto piccole.

Figura 1 I Gocce d'acqua su superfici solide ricoperte da un film di Teflon

Le applicazioni di trattamenti superficiali che fanno sì che le gocce rotolino via invece che rimanere attaccate sono tante. Alcune potenziali, altre invece già in commercio. Ecco alcuni esempi: tessuti a prova di macchia, vernici anti-graffiti, occhiali che non si appannano, parabrezza che non hanno bisogno di tergicristalli.

La modellazione quantitativa delle proprietà di bagnabilità delle superfici rugose può trarre grandi benefici dall'uso di tecniche matematiche avanzate.

Per capire meglio cosa succede in realtà, partiamo dal fatto che la goccia resta in equilibrio se la sua energia complessiva tocca il suo minimo valore possibile. Attraverso strumenti e tecniche di calcolo delle variazioni, alcuni matematici hanno prima trovato le formule per calcolare la grandezza dell'angolo di contatto fra goccia di fluido e superficie che le conferisce l'energia minima. Questo angolo, chiamato angolo di Young, dipende da come è 'ondulata' la superficie oltre che, naturalmente, dai tipi di solido e fluidi a contatto. E da questo angolo dipende il grado di idrorepellenza della superficie. Una goccia può però restare in equilibrio anche se non si trova nella sua configurazione minima di energia. Questa situazione si può avere con una gamma più o meno grande di altri angoli di contatto con la superficie. L'intervallo dei possibili angoli di contatto tra il liquido e la superficie - in grado di conservare ancora l'equilibrio - è chiamato isteresi.

I matematici sono riusciti a spiegare come l'ampiezza dell'isteresi dipenda dalle asperità e qual è la 'soglia di rugosità' della superficie oltre la quale la goccia comincia a muoversi e rotolare.

La conclusione è stata che una grande rugosità è vantaggiosa per avere poca adesione e far rotolare le gocce: aumentando la rugosità fino a farle raggiungere un valore critico, le gocce tendono progressivamente a salire in cima alle asperità e ad assumere una forma pressoché sferica per tensione di capillarità, mentre l'isteresi contemporaneamente diminuisce. Superata questa soglia critica, le gocce rotolano. In questo caso l'ampiezza dell'isteresi è piccola, ci cioè sono piccole forze di adesione e quindi il peso della goccia la fa muovere. A livello matematico questo si vede attraverso la tecnica di omogeneizzazione. Si comincia con un problema con poche punte macroscopiche e si aumenta il numero delle punte, restringendo allo stesso tempo la loro base. Evitando di calcolare i singoli problemi, è possibile fornire una predizione quantitativa della forma delle gocce in presenza di milioni di piccolissime punte.

La matematica della capillarità è solo uno dei possibili esempi di "matematica del quotidiano". I fenomeni naturali accessibili con tecniche di osservazione "ingenua" sono ancora oggi una feconda sorgente di ispirazione per la ricerca, la scienza e la tecnologia. A patto di avvicinarsi ad essi con la stessa curiosità e apertura mentale dei bambini.

P.G. de Gennes: Soft Matter. 1991 Nobel prize lecture: http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1991/gennes-lecture.... de Gennes, F. Brochard-Wyart, D. Quere: Gouttes, bulles, perles et ondes, Belin, Paris 2005.
G. Alberti, A. DeSimone: Wetting of rough surfaces: a homogenization approach. Proc. Royal Society A , Vol. 461, p.79 (2005).