«L’apertura verso la matematica era conforme alla mia convinzione che principalmente dalla matematica e dalla geometria verranno gli strumenti necessari per superare le difficoltà che da decenni ostacolano il cammino della ricerca in fisica teorica»: a parlare così è Paolo Budinich, in un paragrafo del libro “L’Arcipelago delle meraviglie” (Renzo Editore, 2000) in cui racconta la fondazione della Sissa.
All’area di matematica è dedicato questo articolo per ripercorrere, in vista di Esof 2020, la sua nascita, il suo cammino lungo questi quarant'anni, non senza qualche spunto sulle aspettative future.

In foto: Paolo Budinich, il fondatore della Sissa

Buttarsi in un'impresa

È la primavera del 1978. Antonio Ambrosetti si trova a Bochum, in Germania, per tenere una serie di lezioni, quando riceve una telefonata dalla quale viene a sapere che a Trieste nascerà una Scuola per laureati in fisica e matematica. Nella stessa telefonata gli viene chiesto se, a tal proposito, intende ricoprire un incarico da professore. «Ero molto giovane e inesperto e per me si trattava di una scommessa alla cieca, anche perché nessuno immaginava bene cosa fosse la Sissa», ci racconta. Senza sapere se per intuizione o per caso, Ambrosetti accetta e si butta nell’impresa.

Si trattava di un’assoluta novità: la didattica al servizio di percorsi di ricerca dottorali, come mai era accaduto prima in Italia (ad eccezione di un corso biennale "di perfezionamento" alla Scuola Normale di Pisa). Non tutti erano convinti dell'idea: ad esempio l’UMI (Unione Matematica Italiana) era contraria alla costituzione di un gruppo autonomo di matematici alla Sissa. Per fortuna, Budinich non si cura dei venti contrari e tira dritto.

Le origini storiche dell’area possono essere rintracciate nell’ambito dell’analisi e della fisica matematica e furono Antonio Ambrosetti e Arrigo Cellina i due pionieri delle attività di ricerca, oltre a essere tra i primissimi professori stessi della Scuola. Ambrosetti prende servizio nel 1980: le sue lezioni vertono sull'analisi non lineare, ramo della matematica legato al calcolo delle variazioni, risolvendo problemi nei quali non sono direttamente applicabili i metodi classici dell'analisi lineare. Grazie al suo celebre “teorema del passo di montagna”, enunciato con Paul Rabinowitz, ha aperto la strada alla dimostrazione dell’esistenza di soluzioni per tantissime equazioni alle derivate parziali non lineari. Nel 2005 gli è quindi stata conferita la Laurea Honoris Causa dall’Universidad Autonoma de Madrid. Nella prassi didattica del “gomito a gomito” tra allievi e docenti, Ambrosetti dice di aver avuto modo d’incontrare giovani bravissimi provenienti da ogni parte del mondo, attualmente quasi tutti professori in affermate Università: «Non esagero se dico che oggi moltissimi docenti universitari italiani studiosi di analisi non lineare proviene dalla Sissa», racconta.

Come già accaduto per fisica, anche in questo caso, soprattutto per quel che riguarda i primi anni di attività dell’area, non si può non sottolineare lo stretto legame con l’Ictp (International Centre for Theoretical Physics), istituto scientifico che ha rappresentato e continua a rappresentare per la Sissa un partner fondamentale di ricerca e formazione. Dice Ambrosetti, oggi professore emerito della Scuola: «La Sissa dell'epoca era molto diversa rispetto a quella odierna. All’inizio stavamo in un ex albergo al bivio di Miramare e facevamo lezione in una vecchia sala da pranzo: fortunatamente avevamo a disposizione la biblioteca dell'Ictp, fornitissima di libri di analisi e di geometria e con quasi tutte le principali riviste di matematica; gli studenti erano pochi, ma molto bravi e motivati: per loro era una sfida che aveva in palio i primi PhD italiani».

L’edificio Sissa al bivio di Miramare, Trieste

Fin dai primissimi anni, a fianco di Ambrosetti troviamo Arrigo Cellina, apripista del campo di studio delle inclusioni differenziali, in cui è considerato un esperto mondiale. Tra i suoi meriti c’è anche quello di avere fortemente voluto alla Sissa Alberto Bressan, uno dei pochissimi matematici italiani che abbia tenuto una conferenza plenaria all’International Congress of Mathematicians. Nel segno del riconoscimento internazionale alle ricerche matematiche svolte nella Scuola, Bressan viene invitato all’edizione del 2002 a Pechino e tiene una conferenza dal titolo “Hyperbolic Systems of Conservation Laws in One Space Dimension”.
Nel 1996, a Budapest, invece era stata la volta di Boris Dubrovin, arrivato alla Sissa nel 1993 dopo una docenza di quasi vent’anni alla Moscow State University. La seconda plenary talk di Dubrovin si è tenuta dieci anni dopo, nel 2006, a Rio de Janeiro, al Congress of Mathematical Physicists.

Oltre a questi eventi significativi, l’alta reputazione scientifica dell’area è testimoniata, come ci racconta l’attuale coordinatore Gianni Dal Maso, da due premi dell’European Mathematical Society per ricercatori al di sotto dei 35 anni, vinti da Stefano Bianchini nel 2004 e da Guido De Philippis nel 2016.

Il calcolo delle variazioni: domande complesse affrontate con carta e penna

A questo proposito abbiamo chiesto a Guido De Philippis, diventato nel frattempo professore ordinario di analisi matematica, esempi concreti dei suoi studi col suo gruppo di ricerca. Una prima branca d’interessi riguarda il calcolo delle variazioni, ossia lo studio di problemi di minimo su spazi di dimensione infinita. Un esempio di ricerca legato al calcolo delle variazioni è il cosiddetto problema di Plateau, che può essere formulato così: data una curva nello spazio qual è la superficie di area minima che spanna questa curva? Una risposta “sperimentale” a questa domanda si può ottenere prendendo del fil di ferro e immergendolo in acqua e sapone: la pellicola di acqua e sapone che si ottiene rappresenta infatti la soluzione del problema di Plateau.

«Si tratta di capire», spiega De Philippis, «cosa succede quando la superficie si attacca al fil di ferro e come avviene questo fenomeno: ovvero, come può essere tradotto in termini matematici il fatto che queste superfici si attaccano al fil di ferro?». Le ripercussioni pratiche di questo tipo di studi sono numerose: dalla geometria alla fisica della teoria delle stringhe, dall’architettura alle tecniche di stampa. Le superfici minime sono come degli oggetti primitivi da studiare, le cui proprietà possono fare da modello per comprendere un’infinità di altri oggetti geometrici.

Un altro ambito di ricerca che negli anni ha interessato De Philippis è il problema della capillarità, lo studio del comportamento delle gocce d’acqua appoggiate su superfici, un settore di studi che, in passato, ha avuto attenzione anche da parte della NASA. Infatti, nel regime di microgravità che si crea nelle stazioni spaziali, le forze di capillarità sono usate come strumento principale per “muovere” i fluidi, compresa l’acqua che bevono gli astronauti!

Questo campo di studi e le questioni ad esso legate sono così ampie da continuare ad attivare l’attenzione di molti ricercatori e accademici nel mondo. «Ma quel che è curioso notare è che a queste domande così complesse il matematico si approccia, singolarmente o con i suoi collaboratori, spesso solo con carta e penna», commenta De Philipps. «Nella maggior parte dei casi infatti non servono grandi laboratori o strumenti di lavoro, ma un pezzo di carta o una lavagna sulla quale riportare formule. È il modo più classico e “naturale” di fare matematica».

I principali campi di ricerca in matematica della Sissa

Nei quarant'anni di attività della Scuola, l'area matematica ha contribuito alla formazione di più di 300 studenti di PhD, molti dei quali, dopo la discussione della tesi, si sono inseriti con successo nel mondo accademico. In particolare, dei 150 studenti che hanno discusso la loro tesi di PhD entro il 2005, più di quaranta sono ora professori ordinari. Attualmente l’attività scientifica dell’area spazia su un ampio spettro di tematiche: dai problemi più astratti, che nascono da profonde motivazioni interne alla matematica a problemi collegati alla fisica teorica, alla biologia, alla scienza dei materiali e alla fluidodinamica, con applicazioni anche di interesse industriale.
I principali campi di ricerca possono ritenersi:

• geometria, in particolare la geometria algebrica, differenziale e non-commutativa, con applicazioni al campo quantistico e alla teoria delle stringhe
• analisi matematica, soprattutto il calcolo delle variazioni, la teoria del controllo, le equazioni differenziali parziali e ordinarie
• modellizzazione matematica, in particolare la meccanica dei solidi e dei fluidi, la modellizzazione di sistemi complessi e biologici, l’analisi multiscala
• fisica matematica, in particolare i sistemi integrabili e le loro applicazioni, le equazioni alle derivate parziali non lineari, gli aspetti matematici della fisica quantistica
• analisi numerica e calcolo scientifico, applicata alle equazioni, alle derivate parziali e ai problemi di controllo

Ognuna di queste linee di ricerca è portata avanti da un professore coinvolgendo i suoi studenti e avvalendosi dell’aiuto di giovani collaboratori con una borsa post dottorale o con una posizione di ricercatore. Questo perché a uno specifico campo d’interesse scientifico corrisponde quasi sempre la nascita di un preciso gruppo di persone che, pur lavorando in sinergia con gli altri, opera in totale autonomia nel conseguimento dei propri traguardi di ricerca scientifica. Tutto parte dagli esami di selezione per il PhD, che prevede due corsi. Uno è in analisi matematica, modelli e applicazioni; il secondo, in fisica matematica e geometria.

«Per ciascun corso sono selezionati ogni anno otto nuovi studenti, che iniziano un percorso formativo della durata di quattro anni. Già al termine del primo anno, dopo aver seguito i corsi previsti, scelgono il relatore della tesi, che guiderà la loro attività di ricerca, avviandoli allo studio di problematiche originali», spiega Dal Maso. «I successivi tre anni sono dedicati ad affrontare i problemi oggetto della tesi. È un cammino ricco e stimolante, che coltiva fin da subito gli interessi degli allievi per proiettarli verso il futuro, attraverso collaborazioni e sinergie interne o esterne».

Due nuove attività di grande interesse sono partite intorno al 2000. Una riguarda la geometria algebrica e la geometria complessa, e costituisce un’espansione naturale dell’attività di ricerca in fisica matematica, che rispecchia l’importanza crescente della geometria nell’ambito della fisica teorica delle alte energie. Sull’onda di queste innovazioni, è del luglio 2018 l’inaugurazione dell’Institute for Geometry and Physics (IGAP), nato per iniziativa congiunta della Sissa e dell’Ictp, al fine di promuovere progetti di ricerca interdisciplinari, risultati dall’incontro di queste due scienze complementari.

L’altra attività è legata alla matematica applicata e ha portato, nel 2010, alla fondazione di mathLab, un laboratorio per la modellistica matematica e il calcolo scientifico, dedicato alle interazioni tra la matematica e le sue applicazioni in ambito scientifico e industriale. «SISSA mathLab ha inglobato le sfide più moderne per coniugare la matematica alle tematiche più diversificate ed emergenti. Le sfide più trasversali hanno riguardato il calcolo scientifico ad alte prestazioni e la scienza dei dati, dove la nostra partecipazione fornisce una prospettiva più matematica legata all’analisi. Cito la partecipazione nel laboratorio Samba (con l’area neuroscienze della Sissa), dove si studiano modelli bio-inspirati per il movimento, e BioMat per coniugare modelli matematici alla biologia», spiega Gianluigi Rozza, professore ordinario di analisi numerica. «I filoni di ricerca sviluppati negli ultimi anni hanno portato anche l’attenzione verso modelli matematici per il sistema cardiovascolare umano con importanti collaborazioni con medici, sia in ospedali italiani, sia esteri, anche oltreoceano (a Toronto e Houston). Non possiamo, inoltre, dimenticare la partecipazione a progetti industriali, grazie anche a programmi di sviluppo e ricerca della Regione Friuli Venezia Giulia, in particolare in ambito nautico e navale, ma anche nell’ingegneria meccanica».

Una realtà così dinamica guarda ottimisticamente al futuro con due aspettative fondamentali. La prima: trattare sistemi sempre più complessi ed estesi per ottimizzare e controllare processi. La seconda: garantire al calcolo scientifico gli strumenti adeguati per prestazioni competitive, quali per esempio il calcolo scientifico in tempo reale, grazie a metodologie molto avanzate basate su modelli ridotti.

Simulazione numerica di uno scafo nave nel mare. La superficie d’acqua è colorata in base alla sua elevazione col passaggio dello scafo: il rosso rappresenta la superficie alzatasi al di sopra del “pelo libero indisturbato”; il blu rappresenta le onde al di sotto. Crediti: Andrea Mola, Sissa mathLab

Parliamo di futuro

Parlando di futuro, non possiamo non considerare la costante e promettente crescita della simulazione numerica e del calcolo in filoni moderni di sviluppo tecnologico, quali il digital twin, l’universo SMACT (Social, Mobile, Analytics, Cloud, internet of Things) connesse con industria 4.0. In pratica, stiamo parlando di opportunità per valorizzare le ambizioni di tanti giovani ricercatori che in questi anni si stanno succedendo nei progetti di Sissa mathLab. Gli studenti Sissa beneficiano di un ambiente di ricerca formativo capace di rinnovarsi e adeguarsi alle nuove istanze, includendo temi di ricerca moderni in collaborazione con molte imprese del territorio. Per fare dei nomi: Danieli, Fincantieri, Electrolux Professional, Cetena.

MathLab è solo una delle diverse realtà di ricerca matematica in Sissa, ma alquanto significativa della formazione trasversale e al passo coi tempi che si prefigge da sempre l’area, che proprio lo scorso gennaio 2018 è stata nominata “Dipartimento di Eccellenza” dal Miur e premiata con un importante finanziamento per il quinquennio 2018-2022. «Un importante riconoscimento della qualità della ricerca e della formazione offerte dalla Scuola», è stato il commento del direttore Stefano Ruffo.