Googol. È un numero grande, inimmaginabilmente grande. Lo si può facilmente scrivere in forma esponenziale: 10¹⁰⁰, una maniera estremamente compatta, comoda per rappresentare i numeri molto grandi (e anche quelli molto piccoli). Con un minimo di fatica, lo si può scrivere anche in forma estesa: un “uno” seguito da cento “zeri”. Ma nella sua forma esponenziale può essere letto facilmente; in quella estesa si rischia invece di perdere il conto di quante volte bisogna usare il termine “miliardi” in “dieci miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di …. ecc.”. In ogni caso, noi non riusciamo ad apprezzarne la dimensione. Già a livello di un googol, infatti, abbiamo a che fare con un numero che supera molte delle grandezze che descrivono l’Universo che conosciamo. La nostra Galassia, per esempio, è costituita da qualche centinaio di miliardi di stelle. In notazione esponenziale, qualche 10¹¹ stelle. La massa del nostro Sole è 2x10³³ grammi. Usandola come massa stellare media ricaviamo che la massa (visibile) della nostra Galassia è quindi circa 10⁴⁵ grammi. Nell’Universo vi sono alcune centinaia di miliardi di galassie, un numero paragonabile al numero di stelle contenute nella nostra Galassia. Ecco dunque che abbiamo messo insieme qualcosa come 10⁵⁶-10⁵⁷ grammi di materia. Questa materia è costituita fondamentalmente da barioni (protoni e neutroni) legati nei nuclei degli atomi che, dall’idrogeno all’uranio (e oltre), compongono il nostro Universo. Nel calcolo della massa, gli elettroni, che pesano circa un duemillesimo dei nucleoni, possono tranquillamente essere trascurati. Ricordando infine che la massa di un protone (e di un neutrone) è 1,7 x 10^-24 g, otteniamo che il numero di barioni presenti nell’Universo è dell’ordine di 10⁸⁰. Un numero molto, ma molto più piccolo di un googol; per l’esattezza, un centesimo di un miliardesimo di miliardesimo di googol. Neutrini e fotoni sono in numero maggiore, ma anche il loro numero è di gran lunga più piccolo di un googol. Per superare un googol dobbiamo ricorrere al più grande contenitore che conosciamo e alla più piccola parte di esso che possiamo considerare. La lunghezza più piccola che ha un qualche senso in fisica è la lunghezza di Planck. Vale 1,6 x 10^-33 centimetri. In un centimetro cubo ci sono dunque 2,5 x 10⁹⁸ cubi il cui lato misura una lunghezza di Planck. Nemmeno un decimo di googol. Nell’intero Universo, che ha un raggio dell’ordine di qualche 10²⁸ cm, ci sono quindi circa 10¹⁸⁴ cubi di Planck. Questo numero – il numero di cubi di Planck contenibili nell’Universo – è forse il più grande numero a cui possiamo associare una qualche grandezza del mondo fisico. Se rinunciamo all’associazione con una grandezza fisica e rimaniamo nell’ambito dell’astrazione matematica, conosciamo alcuni numeri primi di Mersenne che superano il googol, cominciando da 2⁵²¹ – 1 (che è composto da 157 cifre) e finendo con 2^43.112,609 – 1 che di cifre ne ha circa 13 milioni e credo sia tuttora il più grande tra i primi di Mersenne noti (ma in futuro se ne troveranno senz’altro di ancora più grandi). Ecco che abbiamo superato un googol, ma stiamo sempre trattando con numeri piccoli se paragonati a un googolplex.

Un googolplex, infatti, equivale a 10^googol ed è scrivibile solamente con la notazione esponenziale. Un googol, che equivale a 10¹⁰⁰, può essere scritto anche come 10^{10^2}; il numero di cubi di Planck contenibili nell’Universo può dunque anche essere scritto come 10^{10^2,27}, ma un googolplex è 10^{10^100}! Non solo non esiste abbastanza carta o inchiostro, ma nemmeno esiste lo spazio o il tempo per poter scrivere un go-ogolplex in forma estesa. Anche scrivendone ogni cifra con caratteri così minuti da farla stare in un cubo di Planck, non basterebbe l’intero Universo che, come abbiamo visto, contiene al massimo lo spazio per scrivere le prime 10¹⁸⁴ cifre. Ma noi di cifre ne dovremmo invece scrivere molte di più! A sua volta un googolplex, nonostante sia 10⁹⁸ volte più grande di un googol, diventa un numero piccolo, ai limiti dell’irrilevanza, se paragonato a quello che è considerato come il più grande numero mai utilizzato in una dimostrazione matematica e noto come G, il numero di Graham. Questo numero, di cui non conosciamo il numero di cifre, non può essere facilmente scritto nemmeno utilizzando la notazione espo-nenziale ed è necessario ricorrere a nuove notazioni quali la tetrazione e successive iterazioni esponenziali che continuano la progressione: somma – moltiplicazione – elevamento a potenza – tetrazione e così via. La tetrazione è indicata da due frecce rivolte verso l’alto e comprese tra i fattori. Le iterazioni successive sono indicate da un numero crescente di frecce. Quindi 3↑3 = 3³ = 3x3x3. Poi 3↑↑3 = 3↑(3↑3) (e cioè 3^{3^3}) e 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) – che equivale a (3^{3^3})^(3^{3^3})^(3^{3^3}). Finalmente 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3). Questo è il punto di partenza per arrivare al numero di Graham e lo chiameremo g1. Il passo 2 sarà g2 = 3↑↑…↑↑3 dove il numero di frecce è uguale a g1. Il passo successivo sarà g3 = 3↑↑↑↑…↑↑↑↑3 dove stavolta il numero di frecce è uguale a g2. E così via. Continuando la progressione sino al sessantaquattresimo livello si arriva a g64 = G, il numero di Graham, un numero chiaramente inimmaginabile. Ovviamente è possibile, addirittura facile, concepire operazioni che portino a numeri ancora più grandi: si va dal semplice +1 a un’iterazione esponenziale di termini ancora superiore a quella che definisce il numero di Graham (g65), oppure composta da fattori maggiori (usando ad esempio il 4 al posto del 3).

Ma non è questo il punto. Il punto è trovare numeri che abbiano un’utilità, un significato particolare, numeri che risultino da una dimostrazione, da un qualche processo logico mentale, o che non siano, come i numeri primi, esprimibili in termini di numeri più piccoli. In quest’ottica, sia un googol che un googolplex sono semplicemente due potenze di 10 cui è stato dato un nome che si è ben radicato e compare in dizionari, enciclopedie, testi e trattati. Il numero di Graham, invece, è una limitazione superiore (ma non necessariamente la più piccola) del “più piccolo numero di dimensioni necessarie” per avere alcune proprietà dell’ipercubo (una forma geometrica regolare con quattro o più dimensioni spaziali). Ecco dunque che gli è  stato riconosciuto lo status di numero più grande tra quelli che vantano un qualche significato. Chiudo con una curiosità riguardo al numero di Graham. Non si conoscono le sue prime cifre, ed è ragionevole pensare che non si conosceranno mai, visto che esse vengono calcolate dal fondo (ma, attenzione, non vorrei certo incappare negli stessi errori di supponenza di cui ho scritto recentemente, quindi è sempre meglio “mai dire mai”). Si conoscono tuttavia le ultime cifre (mi risulta che siano state calcolate le ultime 500 e il loro numero è in aumento). Ebbene, G, che altro non è che una sterminata sequenza di moltiplicazioni del numero 3, finisce per 7! Infine, per ridimensionare anche il numero di Graham, ricordiamo che le sue pur tante cifre sono un’inezia se paragonate a quelle, infinite, che descrivono il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, o anche il rapporto tra la lunghezza della diagonale di un quadrato e il suo lato (anche se adesso parliamo di cifre “dopo la virgola”, che quindi non variano sensibilmente la grandezza del numero). Ma anche quando parliamo di infiniti bisogna ricordare che vi sono quelli più grandi e quelli più piccoli…

Tratto da: Le Stelle n. 107, Giugno 2012