Non è dato sapere con certezza a quando risalgano le prime congetture sulla sfericità della Terra, in contrapposizione alla diffusa convinzione che fosse piatta. Forse a Pitagora, forse a Parmenide. Inizialmente queste congetture erano basate su argomentazioni filosofiche, come quelle di Platone sulla perfezione della forma sferica, e non derivavano dall’osservazione di fenomeni naturali. Fu Aristotele, nel IV secolo a.C., a fornire una prima chiara evidenza della curvatura della superficie terrestre, facendo notare che viaggiando verso sud le costellazioni meridionali si alzavano rispetto all’orizzonte. Il fenomeno è, infatti, in contraddizione con l’ipotesi che la Terra sia piatta ma è spiegabile se la sua superficie è curva, in quanto implica che vi sia un angolo tra l’orizzonte di chi sta più a sud e quello di chi vive più a nord, e che quest’angolo vari con continuità al variare della differenza tra le latitudini degli osservatori.
Una volta accettata l’idea della sfericità della Terra, divenne naturale porsi il problema delle sue dimensioni. La prima vera misura della circonferenza terrestre è attribuita al cireneo Eratostene e risale a oltre 200 anni prima di Cristo. Eratostene era a conoscenza che nella cittadina di Syene (l’attuale Assuan), nel giorno del solstizio d’estate, a mezzogiorno, il Sole si trovava esattamente sulla verticale del luogo, come dimostrato dal fatto che illuminava il fondo dei pozzi. Ad Alessandria (d’Egitto), dove egli viveva e lavorava come direttore della grande biblioteca, nella stessa ora dello stesso giorno i raggi del Sole non erano invece perpendicolari al suolo ma formavano un angolo con la verticale. Eratostene sapeva inoltre che Syene e Alessandria si trovavano in pratica lungo lo stesso meridiano (le due località hanno una differenza di solo tre gradi in longitudine) e che la distanza che le separava era di 5040 stadi. Assumendo che il Sole fosse molto lontano dalla Terra e che quindi i suoi raggi fossero paralleli quando la raggiungevano, Eratostene attribuì la differenza d’inclinazione (zero gradi a Syene e un cinquantesimo di angolo giro ad Alessandria) alla curvatura della superficie terrestre. Disponendo quindi della distanza angolare tra le due città (un cinquantesimo di angolo giro, appunto, pari a 7,2 gradi decimali) e della loro distanza lineare (5040 stadi), ottenne la misura della circonferenza della Terra risolvendo una semplice proporzione e ricavando la misura di 252.000 stadi. Noi non sappiamo esattamente quanti metri valesse lo stadio a cui fa riferimento Eratostene. Nell’antica Grecia uno stadio equivaleva a 600 piedi e corrispondeva a una lunghezza compresa tra 177 (sistema attico) e 185 metri (sistema alessandrino). Lo stadio romano, equivalente a 650 piedi, valeva 185 metri. Per lo stadio egiziano (pure equivalente a 600 piedi) è riportato un valore di 157,5 metri ma, partendo dal fatto che Erodoto riporta in 800 piedi egizi la larghezza della Grande Piramide d’Egitto (la piramide di Cheope, la cui base è di 230 metri), si ottiene che uno stadio egizio misurava 172,5 metri. In ogni caso, utilizzando ora il valore più piccolo, ora quello più grande, per la misura di Eratostene della circonferenza della Terra si ottiene una stima compresa tra 39.690 km e 46.620 km, che è incredibilmente vicina alla mi- sura attuale (circa 40.075 km all’equatore), soprattutto alla luce dell’imprecisione con cui doveva essere nota, a quei tempi, la distanza tra Alessandria e Syene.
Può essere divertente trattare il problema della determinazione della lunghezza della circonferenza terrestre come se fosse un “problema di Fermi”. I problemi di Fermi – dal fisico Enrico Fermi, del quale era leggendaria la capacità di stimare grandezze a mente con grande rapidità, disponendo apparentemente di informazioni insufficienti – sono problemi che non possono essere facilmente risolti in maniera esatta, ma di cui è sufficiente trovare una soluzione approssimata entro un ordine di grandezza, entro cioè un fattore dieci. Le soluzioni possono essere raffinate in seguito, se necessario, migliorando la conoscenza di alcune delle grandezze utilizzate. Quello che conta è la capacità di affidarsi a ipotesi semplificatrici e di scomporre il problema in un numero di passaggi semplici che richiedono la conoscenza, anche solo approssimativa, di grandezze comuni o ricavabili con semplici ragionamenti.
Tipici esempi di problemi di Fermi possono essere: il calcolo del numero medio dei capelli di una persona; il calcolo della velocità con cui parte il tappo di una bottiglia di spumante; il calcolo del numero di accordatori di pianoforte che lavorano a Chicago (o in una qualsiasi altra grande città). Quest’ultimo problema è spesso indicato come il più classico dei problemi di Fermi e la sua formulazione è attribuita direttamente al grande fisico. La soluzione è (circa) 115 e questo numero va considerato quindi come indicativo di un valore compreso tra 35 e 350. Il problema si risolve con opportune ipotesi e stime, assumendo, per esempio, che nell’area metropolitana di Chicago vi siano circa nove milioni di abitanti, che mediamente una famiglia sia composta da tre persone e che vi sia un pianoforte ogni trenta famiglie. Tutte ipotesi ragionevoli e difficilmente sbagliate per più di un fattore due. Si ottiene così che ci sono circa 100.000 pianoforti a Chicago. Si prosegue assu- mendo che i pianoforti vengano accordati tipicamente una volta all’anno e che ogni accordatore lavori mediamente cinque giorni alla settimana per 44 settimane all’anno, impiegando un paio d’ore – viaggio compreso – per l’accordatura e accordando quindi quattro pianoforti al giorno. Di nuovo, sono tutte ipotesi plausibili. Ecco dunque che ogni accordatore accorderà 880 pianoforti ogni anno e serviranno circa 115 accordatori per star dietro ai 100.000 pianoforti. Se pensate che abbiamo lavorato troppo di fantasia e vi sembra che abbiamo dato “i numeri”, allora consultate le Pagine Gialle di Chicago alla voce “piano tuner”. Troverete 80 possibili offerte per accordare il vostro pianoforte, un numero perfettamente consistente con la stima appena ricavata.
Calcolare il numero di capelli che mediamente popolano la testa di una persona è ancora più semplice. La testa è approssimabile con una sfera di 25 centimetri di diametro. Supponendo che il cuoio capelluto ne ricopra circa la metà, abbiamo una superficie utile di 1000 centimetri quadrati. Una ragionevole densità di capelli può essere data da due capelli per millimetro quadrato. Ecco dunque che una folta chioma consiste di circa 200.000 capelli. Wikipedia riporta che il numero medio dei capelli di una persona bionda è di 150.000, di una rossa 90.000 (castani e neri sono compresi tra questi due valori). Ma torniamo alla dimensione della Terra e a un modo di stimarla, alla Fermi, utilizzando conoscenze comuni riconducibili a esperienze personali. Il volo diretto New York – Los Angeles impiega sei ore e viaggia alla velocità di crociera di circa 800 km/h. Percorre dunque circa 4800 kilometri, prevalentemente nella direzione est-ovest lungo la quale si susseguono i diversi fusi orari. Sul totale di 24 fusi orari che caratterizzano un giro completo intorno alla Terra, New York e Los Angeles ne “distano“ tre. Con una proporzione simile a quella usata da Eratostene si ottiene dunque una stima della circonferenza terrestre di 38.400 km!
I problemi di Fermi sono quindi un formidabile strumento per insegnare a ragionare, scomponendo problemi apparentemente complessi in semplici passaggi, identificando le ipotesi necessarie, facendo capire l’importanza del calcolo approssimato. Sono inoltre uno stimolo a utilizzare quanto sappiamo, o quanto sappiamo estrarre dalla nostra memoria e dalla nostra esperienza, per arrivare a stimare una grandezza che ci sembrerebbe inizialmente impossibile calcolare, superando l’impressione di non avere le necessarie informazioni per farlo. Non stupisce quindi che i problemi di Fermi vengano a volte proposti già negli ultimi anni dell’istruzione primaria come metodo per sviluppare processi di apprendimento attraverso lo sviluppo di modelli matematici ricorsivi.
Anche la stima del numero delle civiltà evolute presenti nella nostra Galassia, per rimanere in ambito astronomico, è un tipico problema di Fermi. Lascio a voi trovare il risultato numerico, la vostra miglior stima, ricordando solamente che anche l’astronomo Frank Drake se ne era occupato e aveva individuato, nell’equazione che prende il suo nome, i termini rilevanti per arrivare a una possibile risposta a quella che rimane una delle domande più affascinanti dell’astronomia contemporanea.
Tratto da: Le Stelle - n°106, Maggio 2012
